Toisen asteen yhtälöt, jatkoa

Edellisessä artikkelissa todettiin, että toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat yleisesti muotoa $m\pm\sqrt{n}$ , missä $m,n\in\mathbb{Q}$ . Konstruoidaan tätä tietoa hyväksikäyttäen yleisen toisen asteen yhtälön
$az^2+bz+c=0$
ratkaisukaava. Tutkitaan ensin, millaisen yhtälön juuret täsmällisesti ottaen ovat $m\pm\sqrt{n}$ , laskemalla
$(z-m-\sqrt{n})(z-m+\sqrt{n})=z^2-2mz+m^2-n=0$
jolloin tietysti samat juuret ovat myöskin $a$ :lla kerrotullakin yhtälöllä:
$az^2-2amz+a(m^2-n)=0$
Tämän perusteella tiedetään, että $b=-2am$ ja $c=a(m^2-n)$ , jolloin ensinmainitusta voidaan ratkaista $m=-b/(2a)$ ja sen jälkeen jälkimmäisestä klassisesti $n=b^2/(4a^2)-c/a$ , eli ratkaisukaava on:
$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Posted

3.6.2014

Yleinen

Mikko Nummelin

Tags: