Möbius-kuvaukset – Mikon blogi

Käsittelen tässä artikkelissa lyhyesti Möbius-kuvauksia, koska niillä on niin paljon sovelluksia matematiikassa. Möbius-kuvaukset ovat kompleksilukujen $R_{1,1}$ -tyyppisiä kompleksifunktioita, jotka ovat muotoa

$w=\frac{a_0+a_1 z}{b_0+b_1 z}$ .

Möbius-kuvauksen eräs tärkeä ominaisuus on se, että sen käänteiskuvaus on myös Möbius-kuvaus:

$(b_0+b_1 z)w=a_0+a_1 z$ $b_0 w+b_1 wz=a_0+a_1 z$

$-a_1 z+b_1 wz=a_0-b_0 w$
eli
$z=\frac{a_0-b_0 w}{-a_1+b_1 w}$

Tästä seuraa se, että jos muodostetaan kaksi Möbius-kuvausta $\{z_1,z_2,z_3\}\to\{0,1,\infty\}$ ja $\{w_1,w_2,w_3\}\to\{0,1,\infty\}$ , niin näiden avulla voidaan konstruoida Möbius-kuvaus $\{z_1,z_2,z_3\}\to\{w_1,w_2,w_3\}$ . Tutkitaan, millainen on ensinmainittu Möbius-kuvaus. Selvästi ehdot $z_1 \to 0$ ja $z_3 \to \infty$ osoittavat, että kyseisellä Möbius-kuvauksella on oltava tekijä $(z-z_1)/(z-z_3)$ . Ehdosta $z_2\to 1$ sen sijaan seuraa, että edellämainittu on vielä kerrottava lausekkeella $(z_2-z_3)/(z_2-z_1)$ , jotta tämä kolmaskin ehto toteutuisi. Koko Möbius-kuvaukseksi saadaan siis:

$w(z)=\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$

Tätä lauseketta sanotaan kaksoissuhteeksi. Sen lisäksi, että Möbius-kuvauksen käänteiskuvaus on Möbius-kuvaus, myös kahden Möbius-kuvauksen yhdiste on sellainen. Mikä tahansa Möbius-kuvaus voidaan nimittäin purkaa 1-asteen lineaarikuvauksiksi ( $az+b$ ) ja inversioiksi ( $1/z$ ) seuraavasti:

$\frac{a_0+a_1 z}{b_0+b_1 z}-\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_0 b_1-a_1 b_0}{b_0 b_1+b_1^2 z}$

jolloin riittää osoittaa, että Möbius-kuvauksen ja 1-asteen lineaarikuvauksen yhdiste on Möbius-kuvaus. Tämä on melko triviaalia ja edellämainitun perusteella voidaankin päätellä, että Möbius-kuvaus säilyttää kaksoissuhteen:

$\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}=\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_3)(w_2-w_1)}$ .