Ellipsin yhtälö napakoordinaattimuodossa

Ellipsin määritelmä on tunnetusti se, että ellipsi on niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien summa kahdesta polttopisteestä on vakio. Sovitaan, että toinen polttopisteistä sijaitsisi origossa, toinen pisteessä $\mathbf{d}$ ja vektori $\mathbf{r}$ määrittäisi ellipsin pisteiden uran. Tällöin

$|\mathbf{r}|+|\mathbf{r}-\mathbf{d}|=a$ .

Merkitsemällä lyhyemmin $|\mathbf{r}|=r$ , $|\mathbf{d}|=d$ ja noudattamalla pistetulon sääntöjä, saadaan:

$r+\sqrt{r^2+d^2+2dr\cos\varphi}=a$
$\sqrt{r^2+d^2+2dr\cos\varphi}=a-r$
$r^2+d^2+2dr\cos\varphi=r^2+a^2-2ar$
$d^2+2dr\cos\varphi=a^2-2ar$
$2ar+2dr\cos\varphi=a^2-d^2$
$r=\frac{a^2-d^2}{2a-2d\cos\varphi}$

Alempi yhtälö yleistetymmässä muodossa:

$r=\frac{A}{1-E\cos\varphi}$

on yleinen kartioleikkauksen yhtälö, jossa $E$ on eksentrisyys. Mikäli $|E|=0$ , kyseessä on ympyrä, mikäli $0<|E|<1[/latex], kyseessä on ellipsi (kuten yllä), mikäli [latex]|E|=1[/latex], kyseessä on paraabeli ja lopulta mikäli [latex]|E|>1$ , kyseessä on hyperbeli.